Главная Новые статьи Связь
FAQ How To » Наука » Как найти площадь треугольника и четырехугольника
Рубрики
7 посетителей на сайте

Как найти площадь треугольника и четырехугольника

Добавлена: Aug 12th 2010
Количество просмотров: 108200

Все мы учились (а кто-то наверно как раз учится) в школе и изучали там такой предмет как геометрия. Одним из основных усвоенных на геометрии знаний является умение вычислять площадь геометрических фигур. Эти знания нужны не только в школе для решения задачек, но могут пригодиться и во взрослой жизни, например при постройке дома или проведении ремонта. Однако учебник геометрии не всегда под рукой. Данная статья будет своего рода шпаргалкой для детей и взрослых, в которой перечислены основные формулы площади геометрических фигур.

как найти площадь прямоугольника, формула Будем идти от простого к более сложному, это позволит лучше понять и запомнить ниже перечисленные формулы. Первым делом рассмотрим такую наиболее простую фигуру как прямоугольник. Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равные 90°. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны друг другу. На рисунке приведен пример прямоугольника ABCD с высотой a (короткая сторона) и шириной b (длинная сторона). Найти площадь (которая обычно обозначается буквой S) прямоугольника проще простого, она равна произведению высоты прямоугольника на его ширину: S = a·b. Эта формула фактически напрямую следует из определения «площади».

как найти площадь квадрата, формула Зная как найти площадь прямоугольника, можно вывести формулы площади и остальных геометрических фигур. Рассмотрим такой частный случай прямоугольника, как квадрат. Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны: в нашем случае квадрат ABCD со стороной a. Собственно, исходя из определения следует, что посчитать площадь квадрата можно просто умножив длину его стороны на саму себя (возвести в квадрат, вот такая вот тавтология). Формула выглядит следующим образом: S = a2.

Рассмотрев такие простые фигуры как прямоугольник и квадрат, перейдем к более сложным.

как найти площадь параллелограмма, формула Распространенной фигурой в школьной геометрии является параллелограмм, четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны друг другу. Из того что они параллельны, следует также что они равны. Выглядит параллелограмм как наклонившийся прямоугольник (вообще говоря, прямоугольник это просто частный случай параллелограмма). На рисунке изображен параллелограмм ABCD со сторонами a и b, а также некоторые дополнительные построения. Вычислить площадь данной фигуры можно несколько способами. Первым делом опустим из точки B перпендикуляр к стороне AD и назовем его BF (или высота hAD). Аналогичным образом опустим перпендикуляр из точки C на продолжение стороны AD (CE). Можно легко доказать равенство треугольников ABF и DCE. Площадь параллелограмма ABCD складывается из площади треугольника ABF и площади четырехугольника BCDF: SABCD = SABF + SBCDF. Но из равенства треугольников ABF и DCE следует и равенство их площадей: SABF = SDCE. Таким образом SABCD = SBCDF + SDCE = SBCEF, то есть площадь параллелограмма ABCD равна площади четырехугольника BCEF. А что это за четырехугольник? Правильно, прямоугольник. А как найти площадь прямоугольника мы уже знаем и получаем что SABCD = SBCEF = b·h. Таким образом мы получили первую формулу для вычисления площади параллелограмма, она равна произведению стороны на высоту, опущенную на нее: S = b·h. Очень важно не перепутать высоту, потому что если бы мы опустили высоту из точки D на сторону AB, то площадь бы определялась как произведение a·hAB, а hAB ≠ hAD.

Как еще можно найти площадь параллелограмма? Давайте внимательно посмотрим на треугольник ABF. О нем можно сказать что он прямоугольный, и высота hAD один из его катетов. А катет равен произведению гипотенузы на синус противоположного катету угла. То есть в нашем случае BF = AB·Sin(<BAF), или что то же самое h = a·Sin(<BAD). Подставив данное выражение в выведенную ранее формулу, получим что площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними: S = a·b·Sin(<BAD).

Есть еще одна довольно простая и запоминающаяся формула для определения площади параллелограмма, но о ней чуть позже. Нужно предварительно выяснить как посчитать площадь треугольника. Также обратим внимание, что раз прямоугольник является частным случаем параллелограмма, выведенные формулы должны подойти и для него. В первом случае высота h просто равна боковой стороне a, во втором Sin(<BAD) = 1, поскольку угол BAD прямой. Все верно.

как найти площадь треугольника, формула Теперь, зная как можно посчитать площадь параллелограмма, мы легко сможем найти площадь треугольника. Рассмотрим треугольник ABD. Выполним дополнительное построение, достроив наш треугольник до параллелограмма ABCD. Достаточно элементарно можно доказать равенство треугольников ABD и CDB, это фактически следует из построения. А раз эти треугольники равны, то и площади их равны, а сумма их площадей равна площади параллелограмма ABCD. Таким образом площадь треугольника ABD равна половине площади параллелограмма ABCD. А как определить площадь параллелограмма мы уже выяснили выше. То есть для определения площади треугольника подходят те же самые формулы что и для параллелограмма, только поделенные на 2. В конечном итоге имеем: 1) S = b·h/2
2) S = a·b·Sin(<BAD)/2.

Зная как найти площадь треугольника, можно вернуться к параллелограмму и вывести еще одну формулу площади. Для параллелограмма характерна следующая особенность: его диагонали делятся точкой пересечения пополам (доказывается элементарно из равенства противоположных треугольников, образованных диагоналями). Зная этот факт, а также обратив внимание что площадь параллелограмма, это сумма четырех треугольников, образованных диагоналями, можно легко доказать что площадь параллелограмма можно вычислить по формуле S = AC·BD·Sin(<β)/2, где β - угол, образованный диагоналями (чтобы вывести эту формулу, воспользуйтесь формулой площади треугольника №2, с синусом). Полученная формула кстати подходит для любого выпуклого четырехугольника, доказывается тоже достаточно элементарно, попробуйте проделать это сами.

как найти площадь трапеции, формула Под занавес рассмотрим еще один часто встречающийся вид четырехугольника - трапецию. У трапеции одна пара противолежащих сторон параллельна (они называются основаниями). Формула площади трапеции довольна проста, она равна произведению высоты h (перпендикуляр к основаниям трапеции), на полусумму оснований: S = h·(b+d)/2. Чтобы вывести эту формулу просто выполните дополнительные построения, опустив высоты из вершин B и C. Площадь трапеции это сумма площадей полученных треугольников (используем формулу №1, без синуса) и прямоугольника.

Заметим, что параллелограмм является частным случаем трапеции, поэтому формула площади должна подходить и для него. Проверьте на досуге.

Также, заметим, что трапеция тоже является выпуклым четырехугольником, поэтому для вычисления ее площади подходит формула с произведением диагоналей.

Удачи на контрольных и при покупке земельного участка.

 


«Цель музыки — трогать сердца.»

Иоганн Себастьян Бах


При использовании материалов сайта ссылка на FAQ How To обязательна
Сделано на движке ArticleMS
Яндекс.Метрика
На главную На главную Поиск по сайту Связь с администрацией